6.2 이동 평균

시계열을 분해하는 1920년대의 고전적인 방법은 1950년까지 널리 사용되었다. 이 방법은 후대의 시계열 분석 기법의 기초가 되고 있으며, 이 방법의 세부 사항을 잘 이해하는 것은 중요하다. 고전적인 분해 방법의 첫 번째 단계는 추세-주기를 측정하기 위해 이동 평균 방법을 사용하는 것이니, 이동 평균에 대한 논의에서 시작하자.

이동 평균

차수 $m$ 이동 평균은 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$\begin{align*} \hat{ T }_{t} = \frac{1}{m} \sum_{j = -k}^{k} y_{t+j}, \end{align*}$$

여기에서 $m = 2 k + 1$이다. 즉, $k$ 기간 안의 시계열 값을 평균하여 시간 $t$에서 추세-주기를 측정할 수 있다. 측정 시기가 비슷한 값은 값이 비슷하기도 하다. 평균이 데이터의 무작위성을 감소시켜준다. 이 작업을 통해 평활화된 추세-주기 성분을 얻을 수 있다. 차수 $m$의 이동 평균 작업을 $m$-MA 라고 부른다. 예로, 그림 6.6을 보자. 이 그림에서 1989년부터 2008년까지 호주 남부의 매년 주거용 전기 판매량을 알 수 있다(hot water sales는 제외). 표 6.1에 데이터도 있다.

그림 6.6: 호주 남부 주거용 전기 판매량(온수 제외): 1989-2008.

표 6.1

R code

ma(elecsales, order=5)

표의 두 번째 열에 추세-주기의 예상치를 나타내는 차수 5의 이동 평균이 있다. 두 번째 열의 첫 번째 값은 첫 5개 관측값(1989-1993)의 평균이다. 5-MA가 있는 열의 두 번째 값은 1990-1994의 평균이다. 5-MA가 있는 열의 각 값은 5년의 기간의 관측값을 평균하여 가운데 값으로 나타낸 것이다. 1989, 1990, 2007, 2008은 평균을 계산하기 위한 관측값이 부족해서 없다. 위의 식에서 5-MA가 있는 열에는 $k=2$인 $\hat{T}_{t}$ 값이 있다. 추세-주기 추정치가 어떤지 확인하기 위해, 원본 데이터와 함께 나타내어 살펴보자(그림 6.7).

그림 6.7: 주거용 전기 판매량(검정)과 추세-주기의 5-MA 추정치(빨강).

plot(elecsales, main="Residential electricity sales",
  ylab="GWh", xlab="Year")
lines(ma(elecsales,5),col="red")

추세(빨간색)가 원본 데이터보다 얼마나 더 매끄러운지와 부가적인 요동을 제외한 시계열의 주된 움직임을 어떻게 포착하는지 살펴보자. 이러한 이동 평균 기법으로는 시계열의 끝부분에 가까운 추정치를 구할 수 없다. 그래서 빨간색 선이 그래프 양 끝까지 늘어나지는 않는다. 이후에 끝부분 주변의 추세-주기 추정치를 구하는 더욱 복잡한 방법을 사용할 것이다.

이동 평균의 차수는 추세-주기 추정치의 매끄러운 정도를 결정한다. 일반적으로, 더 큰 차수가 더 매끄러운 곡선을 의미한다. 다음의 그래프에서 주거용 전기 판매량 데이터에서 이동 평균의 차수를 바꿀 때 일어나는 일을 볼 수 있다.

그림 6.8: 주거용 전기 판매량 데이터에 적용된 다양한 이동 평균 기법.

단순 이동 평균은 보통 3,5,7 같은 홀수 차수이다. 그래서 이 방법은 대칭적이다. 즉, $m = 2k+1$ 차수의 이동 평균에서 $k$개의 이전 관측값과 $k$개의 이후 관측값 그리고 가운데 관측값을 평균하여 구한다. $m$이 짝수이면, 더이상 대칭적이지 않을 것이다.

이동 평균의 이동 평균

이동 평균을 이동 평균하는 것도 가능하다.짝수 차수 이동 평균을 대칭적으로 만들기 위해서 이러한 작업을 한다.

예로, 차수 4의 이동 평균을 구한다고 하고, 그 다음 그 결과를 가지고 차수 2의 이동 평균을 구한다고 하자. 호주 4분기별 맥주 생산량 처음 몇 년 데이터를 가지고 이러한 작업을 하여 표 6.2에 나타내었다.

표 6.2

beer2 <- window(ausbeer,start=1992)
ma4 <- ma(beer2, order=4, centre=FALSE)
ma2x4 <- ma(beer2, order=4, centre=TRUE)

마지막 열의 $2 \times 4$-MA는 4-MA 다음 2-MA를 구했다는 의미이다. 마지막 열의 값은 이전 열에 있는 값을 가지고 차수 2인 이동 평균을 계삲여 구한 것이다. 예를 들면, 4-MA 열의 첫 두 값은 $451.2=(443+410+420+532)/4$ 와 $448.8=(410+420+532+433)/4$이다. $2 \times 4$-MA열의 첫 번째 값은 이 두 값의 평균이다: $450.0=(451.2+448.8)/2$. 2-MA가 (예로 든 4와 같이) 짝수 차수 이동 평균 다음에 오면, "차수 4의 중심화된 이동평균"이라고 부른다. 결과가 대칭적이기 때문에 이렇게 부른다. 지금 다루고 있는 예에서 살펴보기 위해, $2 \times 4$-MA를 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$\begin{align*} \hat{T}_{t} &= \frac{1}{2}\Big[\frac{1}{4} (y_{t-2}+y_{t-1}+y_{t}+y_{t+1}) + \frac{1}{4} (y_{t-1}+y_{t}+y_{t+1}+y_{t+2})\Big] \\ &= \frac{1}{8}y_{t-2}+\frac{1}{4}y_{t-1}+\frac{1}{4}y_{t}+\frac{1}{4}y_{t+1}+\frac{1}{8}y_{t+2}. \end{align*}$$

관측값의 가중 평균이면서 대칭적이다. 다른 이동 평균 조합도 물론 가능하다. 예를 들면, 차수 3의 이동 평균 다음에 차수 3의 이동 평균을 구하는 $3 \times 3$-MA도 종종 쓰인다. 일반적으로, 짝수 차수 MA를 대칭적으로 만들기 위해 짝수 차수 MA를 그 다음에 사용해야 한다. 비슷한 이유에서, 홀수 차수 MA 다음에 홀수 차수 MA를 사용해야 한다.

계절적인 데이터로 추세-주기 추정하기

중심화된 이동 평균의 주 용도는 계절적인 데이터에서 추세-주기를 추정이다. $2 \times 4$-MA를 살펴보자:

$$\hat{T}_{t} = \frac{1}{8}y_{t-2}+\frac{1}{4}y_{t-1}+\frac{1}{4}y_{t}+\frac{1}{4}y_{t+1}+\frac{1}{8}y_{t+2}.$$

4분기 데이터에 적용하면, 첫 번째와 마지막 항이 앞뒤 연도의 영향을 받아서 한 해의 각 분기에 같은 가중치가 주어진다. 그 결과로, 평균 때문에 계절적인 변동이 사라지고 결과 값 $\hat{T}_{t}$에 계절적인 변동이 별로 남지 않게 된다. $2 \times 8$-MA 이나 $2 \times 12$-MA 를 사용해도 마찬가지이다. 일반적으로 $2 \times m$-MA은 $m+1$ 차수의 가중 이동 평균과 같다. 이러한 가중 이동 평균에서 첫 번째와 마지막 값을 제외한 모든 관측값에 $1/m$ 가중치를 두고 계산하고 첫 번째와 마지막 값에는 $1/(2m)$의 가중치를 두고 계산한다. 이러한 이유에서 계절적 주기가 짝수이면서 차수 m이면, 추세-주기를 추정하기 위해 $2 \times m$-MA를 사용한다. 계절적인 주기가 홀수이면서 차수 $m$이면, 추세-주기를 추정하기 위해 $m$-MA를 사용한다. $2 \times 12$-MA는 월별 데이터의 추세-주기를 추정하기 위해 사용할 수 있고, 7-MA는 일별 데이터의 추세-주기를 추정하기 위해 사용할 수 있다. 흔히 다른 차수의 MA를 사용하면 데이터의 계절성 때문에 추세-주기 추정이 정확하지 않게 된다.

예제 6.2 전자 장비 생산

그림 6.9은 전자 장비 생산 지수에 $2 \times 12$-MA 를 적용한 결과이다. 매끄러운 선에서 계절성이 없다. 그림 6.2의 이동 평균보다 더 복잡한 방법으로 추정한 추세-주기와 거의 같다. 이동 평균의 차수를 24, 36 같은 것을 제외한 값으로 선택하면 매끄러운 선에 계절적인 요동이 약간 보일 것이다.

그림 6.9: $2 \times 12$를 전자 장비 생산 지수에 적용한 결과.

plot(elecequip, ylab="New orders index", col="gray",
  main="Electrical equipment manufacturing (Euro area)")
lines(ma(elecequip, order=12), col="red")

가중 이동 평균

이동 평균의 조합이 가중 이동 평균이 되는 것을 확인했다. 예를 들면, 위에서 언급한 $2 \times 4$-MA는 가중치를 $\frac{1}{8}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}$로 주는 가중 5-MA와 같다. 일반적으로, 가중 $m$-MA는 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$\hat{T}_t = \sum_{j=-k}^k a_j y_{t+j},$$

여기에서 $k = (m-1)/2$이고 가중치는 $\left[ a_{-k}, \cdots, a_{k} \right]$로 주어진다. 가중치를 모두 더하면 1이고 가중치들은 $a_{j} = a_{-j}$와 같이 대칭적이다. 단순 $m$-MA는 모든 가중치를 $1/m$으로 같게 둔 특별한 경우이다. 더욱 매끄러운 추세-주기를 얻을 수 있다는 점이 가중 평균의 주된 장점이다. 관측값에 가중치를 전부 고려하지 않고, 천천히 증가하다가 감소하는 가중치를 이용하여 더 매끄러운 곡선을 구한다. 표 6.3에 몇 가지 널리 사용되는 구체적인 가중치를 나타내었다.

표 6.3: 가중 평균에서 흔히 사용되는 가중치 목록

S = Spencer의 가중 이동 평균

H = Henderson의 가중 이동 평균

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