7.2 Holt의 선형 추세 기법

Holt의 1957년 논문에서 추세가 있는 데이터를 예측할 수 있도록 단순 지수 평활을 확장한다. 이 방법은 예측식과 두 개의 평활식(하나는 수준에 관한 것, 다른 하나는 추세에 관한 것)을 포함한다.

$$\begin{equation} \begin{aligned} 예측식 \qquad \hat{y}_{t+h|t} &= l_{t} + h b_{t} \\ 수준식 \qquad\quad\:\:\:\: l_{t} &= \alpha y_{t} + (1-\alpha)(l_{t-1} + b_{t-1}) \\ 추세식 \qquad\quad\:\:\: b_{t} &= \beta^{*} ( l_{t} - l_{t-1} ) + (1-\beta^{*})b_{t-1} \end{aligned} \end{equation}$$

여기에서 $l_{t}$는 시간 $t$에서 시계열의 수준 추정값, $b_{t}$는 시간 $t$에서 시계열의 추세 추정값, $0 \le \alpha \le 1$는 수준에 대한 평활 매개변수, $0 \le \beta^{*} \le 1$는 추세에 대한 평활 매개변수이다. (7.7절에서 설명할 이유 때문에 여기에서 $\beta$대신 $\beta^{*}$을 사용한다.)

단순 지수 평활과 마찬가지로, 수준식에서 $l_{t}$가 관측값 $y_{t}$의 가중 평균이라는 것과 여기에서 $l_{t-1}+b_{t-1}$로 주어지는 시간 $t$에 대한 표본 내 한 단계 앞 예측이라는 것을 알 수 있다. 추세식에서 $b_{t}$가 추세에 대한 이전 추정 $l_{t}-l_{t-1}$과 $b_{t-1}$에 근거하여 시간 $t$에서 추정된 추세의 가중평균이라는 것을 알 수 있다.

예측 함수는 더이상 평평하지 않고 추세를 나타낸다. $h$단계 앞 예측은 마지막 추정 수준에 마지막 추정 추세값의 $h$배 한 것을 더한 값이다. 따라서 예측값은 $h$의 선형 함수이다.

수준과 추세식의 오차 보정식은 표본 내 한 단계 예측 오차에 대한 조정이 들어가 있다.

$$\begin{align*} l_{t} &= l_{t-1} + b_{t-1} + \alpha e_{t} \\ b_{t} &= b_{t-1} + \alpha \beta^{*} e_{t} \end{align*}$$

여기에서 $e_{t} = y_{t} - (l_{t-1} + b_{t-1}) = y_{t} - \hat{y}_{t \vert t-1}$이다.

예제 7.2 항공객

표 7.3에서 Holt의 선형 기법을 호주 항공의 모든 승객에 대한 항공 수송 데이터에 적용한 결과를 나타내었다. 기법을 초기화하기 위해 표 7.9에서 제안한 것처럼 $l_{0}=y_{1}$ 그리고 $b_{0}=y_{2}-y_{1}$로 두었다. 선형 추세로 처음 몇 관측값을 맞출 수 있을 것이고 $y$절편과 기울기 추정값을 수준과 추세의 초기값으로 각각 사용할 수 있을 것이다.

시연 목적에서 평활 매개변수를 $\alpha=0.8$과 $\beta^{*}=0.2$로 두었다. 이렇게 하지 않으면, 7.1절처럼 표본 내 한 단계 예측 오차에 대한 SSE를 최소화하여 평활 매개변수도 초기값과 함께 추정할 수 있을 것이다.

air <- window(ausair, start=1990, end=2004)
fit1 <- holt(air, alpha=0.8, beta=0.2, initial="simple", h=5)
fit2 <- holt(air, alpha=0.8, beta=0.2, initial="simple", exponential=TRUE, h=5)

fit1.model.state # 첫번째 모델에 대한 결과
fitted(fit1)
fit1.mean

그림 7.3: 호주 항공객 예측. 모든 기법에 대해 $\alpha = 0.8$, $\beta^{*} = 0.2$이고 덧셈 감쇠 추세 기법에서 $\phi = 0.85$이다.

fit3 <- holt(air, alpha=0.8, beta=0.2, damped=TRUE, initial="simple", h=5)
plot(fit2, type="o", ylab="Air passengers in Australia (millions)", xlab="Year",
     fcol="white", plot.conf=FALSE)
lines(fitted(fit1), col="blue")
lines(fitted(fit2), col="red")
lines(fitted(fit3), col="green")
lines(fit1$mean, col="blue", type="o")
lines(fit2$mean, col="red", type="o")
lines(fit3$mean, col="green", type="o")
legend("topleft", lty=1, col=c("black","blue","red","green"),
   c("Data","Holt's linear trend","Exponential trend","Additive damped trend"))