7.5 Holt-Winters 계절적인 기법

Holt (1957)와 Winters (1960)는 계절성을 고려하기 위해 Holt의 기법을 확장하였다. Holt-Winters 계절적인 기법은 예측식과 3개의 평활식으로 구성된다. 하나는 수준 $l_{t}$에 대한 것, 하나는 추세 $b_{t}$에 대한 것, $s_{t}$로 나타내고 평활 매개변수 $\alpha$, $\beta^{*}$ 그리고 $\gamma$를 고려하는 계절적인 성분이다. $m$을 계절성의 주기로 표시하자. 즉, 한 해의 계절의 수 같이 말이다. 예를 들면, 4분기 데이터에서는 $m=4$이고, 월별 데이터에서는 $m=12$이다.

계절적인 성분의 성질에 따라 이 기법에 두 가지 변형이 있다. 덧셈 기법은 계절적인 변동이 시계열 전반에 걸쳐 거의 일정할 때 사용하고, 곱셈 기법은 계절적인 변동이 시계열의 수준에 비례하게 변할 때 사용한다. 덧셈 기법에서 계절적인 성분은 관측된 시계열의 척도로 나타내고, 수준식에서 계절적인 성분을 빼서 시계열을 계절적으로 조절한다. 각 연도 내에서 계절적인 성분은 근사적으로 0에 맞춰질 것이다. 곱셈 기법에서, 계절적인 성분은 상대적인 항(비율)으로 표현하고 시계열은 계절적인 성분으로 나누어 계절적으로 조절한다. 각 연도 안에서 계절적인 성분은 근사적으로 $m$으로 맞춰질 것이다.

Holt-Winters 덧셈 기법

덧셈 기법에 대한 성분 형태는

$$\begin{align*} \hat{y})_{t+h \vert t} & = l_{t} + h b_{t} + s_{t-m \vert + h_{m}^{+} } \\ l_{t} & = \alpha (y_{t} - s_{t-m}) + (1-\alpha)(l_{t-1} + b_{t-1}) \\ b_{t} & = \beta^{*} (l_{t} - l_{t-1}) + (1-\beta^{*})b_{t-1} \\ s_{t} & = \gamma (y_{t} - l_{t-1} - b_{t-1}) + (1-\gamma)s_{t-m}, \end{align*}$$

여기에서 $h_{m}^{+} = \lfloor (h-1) \mod m \rfloor + 1$ 이고, 이것이 예측을 위한 계절적인 지수 추정이 표본의 마지막 연도에서 유래한다는 것을 보장한다. $\lfloor u \rfloor$는 $u$보다 크지 않은 가장 큰 정수이다. 수준식은 계절적으로 조절된 관측값 ( $y_{t}-s_{t-m}$ ) 사이의 가중 평균과 시간 $t$에 대한 비-게절적인 예측 ($l_{t-1}+b_{t-1}$)을 나타낸다. 추세식은 Holt의 선형 기법과 같다. 계절적인 식은 현재 계절적인 지표( $y_{t}-l_{t-1}-b_{t-1}$ )와 이전 연도 같은 계절(즉, $m$ 주기 이전)의 계절적인 지표 사이의 가중 평균을 나타낸다.

계절적인 성분에 대한 식은 종종 다음과 같이 나타낸다.

$$s_{t} = \gamma^{*}(y_{t}-l_{t}) + (1-\gamma^{*})s_{t-m}.$$

만약에 평활식에서 l_{t}를 위의 성분 형태의 수준에 대입하면,

$$s_{t} = \gamma^{*}(1-\alpha)(y_{t} - l_{t-1} - b_{t-1}) + \left[ 1 - \gamma^{*}(1-\alpha) \right]s_{t-m}$$

위의 식은 계절적인 성분에 대한 평활식과 같다. 여기에서 $\gamma = \gamma^{*}(1-\alpha)$로 다시 쓸 수 있고, 보통의 매개변수 제한 조건은 $0 \le \gamma^{*} \le 1$인데, $0 \le \gamma \le 1- \alpha$가 된다.

평활식의 오차 보정 형태는

$$\begin{align*} l_{t} & = l_{t-1} + b_{t-1} + \alpha e_{t} \\ b_{t} & = b_{t-1} + \alpha \beta^{*} e_{t} \\ s_{t} & = s_{t-m} + \gamma e_{t}. \end{align*}$$

여기에서 $e_{t} = y_{t} - \left( l_{t-1} + b_{t-1} + s_{t-m} \right) = y_{t} - \hat{y}_{t \vert t-1}$은 한 단계 훈련 예측 오차이다.

Holt-Winters 곱셈 기법

곱셈 기법에 대한 성분 형태는

$$\begin{align*} \hat{y}_{t+h \vert t} & = \left( l_{t} + h b_{t} \right) s_{t-m \vert + h_{m}^{+} } \\ l_{t} & = \alpha \frac{ y_{t} }{ s_{t-m} } + (1-\alpha)(l_{t-1} + b_{t-1}) \\ b_{t} & = \beta^{*} (l_{t} - l_{t-1}) + (1-\beta^{*})b_{t-1} \\ s_{t} & = \gamma \frac{ y_{t} }{ l_{t-1} + b_{t-1} } + (1-\gamma)s_{t-m}, \end{align*}$$

그리고 오차 보정 표현은 다음과 같다.

$$\begin{align*} l_{t} & = l_{t-1} + b_{t-1} + \alpha \frac{ e_{t} }{ s_{t-m} } \\ b_{t} & = b_{t-1} + \alpha \beta^{*} \frac{ e_{t} }{ s_{t-m} } \\ s_{t} & = s_{t-m} + \gamma \frac{ e_{t} }{ \left( l_{t-1} + b_{t-1} \right) }. \end{align*}$$

여기에서 $e_{t} = y_{t} - \left( l_{t-1} + b_{t-1} \right) s_{t-m}$이다.

예제 7.4 호주를 방문하는 국제 여행객 숙박일 수

그림 7.6: 덧셈과 곱셈 계절성 두 경우의 Holt-Winters 기법을 이용하여 호주를 방문하는 국제 여행객 숙박일 수 예측.

aust <- window(austourists,start=2005)
fit1 <- hw(aust,seasonal="additive")
fit2 <- hw(aust,seasonal="multiplicative")

plot(fit2,ylab="International visitor night in Australia (millions)",
     plot.conf=FALSE, type="o", fcol="white", xlab="Year")

lines(fitted(fit1), col="red", lty=2)
lines(fitted(fit2), col="green", lty=2)

lines(fit1$mean, type="o", col="red")
lines(fit2$mean, type="o", col="green")

legend("topleft",lty=1, pch=1, col=1:3, 
  c("data","Holt Winters' Additive","Holt Winters' Multiplicative"))

이 예제에서는 호주에서 국제선 항공편 승객의 숙박일 수 예측을 위해 덧셈과 곱셈 계절성 두 경우에 Holt-Winters 기법을 도입하였다. 그림 7.6은 2005년 1분기부터 2010년 4분기까지의 표본 내 한 단계 예측과 데이터를 같이 나타낸 것과 2011년 1분기와 2012년 4분기에 대한 예측을 나타낸 것이다. 데이터에서 분명한 호주의 여름인 매년 3월이 성수기로 나타나는 계절적인 패턴이 보인다.

덧셈과 곱셈 계절성을 가지고 이 기법을 응용한 결과를 표 7.5와 7.6에 각각 나타내었다. 결과를 통해 곱셉 계절성이 데이터에 더 잘 맞는다는 것을 알 수 있다. 시계열의 수준이 증가하면서 데이터에 나타나는 계절적인 변동이 증가하는 것을 보여주는 도표를 보고 예상할 수 있었던 사실이다. 이 결과는 두 가지 예측 집합도 보여준다. 덧셈 계절성을 이용하여 얻은 예측 결과와 비교할 때, 곱셈 계절성을 이용한 기법으로 예측한 결과가 예측값의 수준이 증가함에 따라 더 크고 증가하는 계절적인 변동을 나타낸다.

표 7.5

표 7.6

그림 7.7: 덧셈과 곱셈 계절적인 성분의 Holt-Winters 기법에 대해 추정된 성분들.

states <- cbind(fit1$model$states[,1:3],fit2$model$states[,1:3])
colnames(states) <- c("level","slope","seasonal","level","slope","seasonal")
plot(states, xlab="Year")
fit1$model$state[,1:3]
fitted(fit1)
fit1$mean

Holt-Winters 감쇠 기법

계절적인 데이터에 대해 단일 기법으로는 가장 정확한 예측을 주는 감쇠 추세와 곱셈 계절성의 Holt-Winters 기법은 다음과 같다.

$$\begin{align*} \hat{y}_{t+h \vert t} & = \left[ l_{t} + \left( \phi + \phi^{2} + \cdots + \phi^{h} \right) b_{t} \right]s_{t-m + h_{m}^{+}} \\ l_{t} & = \alpha \frac{ y_{t} }{ s_{t-m} } + (1-\alpha)( l_{t-1} + \phi b_{t-1} ) \\ b_{t} & = \beta^{*} (l_{t} - l_{t-1}) + (1 - \beta^{*})\phi b_{t-1} \\ s_{t} & = \gamma \frac{ y_{t} }{ \left( l_{t-1} + \phi b_{t-1} \right) } + (1-\gamma)s_{t-m}. \end{align*}$$